Mit der Produktregel haben wir die Anzahl aller möglichen Kombinationen von Ergebnissen bestimmt. Oft wollen wir nicht alle möglichen Paare zählen, sondern nur solche, die eine Bedingung erfüllen. Eine Möglichkeit ist dann, die Ergebnisse einfach der Reihe nach aufzulisten und durchzuzählen. Wir müssen nur darauf achten, tatsächlich alle Elemente zu finden.
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit dreimaligem Wurf eines Würfels genau die Augensumme 10 zu erreichen?
Warum die Produktregel hier nicht funktioniert
Wir versuchen, mit der Produktregel zu argumentieren: Für den ersten Würfel gibt es 6 Möglichkeiten. Für den zweiten Würfel ist dann nicht mehr jede Augenzahl zulässig, denn zum Beispiel mit den Augenzahlen 66 sind wir schon über der geforderten Augensumme. Und auch 64 geht nicht, denn dann sind keine Augen für den dritten Würfel übrig. Hat der erste Würfel aber eine 5, kann beim zweiten Wurf wiederum eine 4 kommen. Das Prinzip „jeder mit jedem“ geht hier also nicht – keine Produktregel möglich. Die möglichen Wurfergebnisse sind nicht unabhängig.
Liste aller günstigen Ergebnisse
Wir behelfen uns, indem wir nicht rechnen, sondern wir versuchen, alle möglichen Wurffolgen mit der Augensumme 10 aufzulisten. Wir finden zuerst irgendwelche Wurffolgen wie 343 oder 361. Damit wir sicher sind, alle Lösungen zu finden, gehen wir aber in einer definierten Reihenfolge vor und beginnen z.B. mit der zahlenmäßig größten Folge 631. Die nächstkleinere ist 622 und dann 613.
Das Prinzip ist, dass wir die erste 6 so lange wie möglich stehen lassen. Erst wenn alle Kombinationen mit 6.. aufgelistet sind, gehen wir auf 5.. und starten an der zweiten Stelle wieder mit der größtmöglichen Zahl. Das wäre hier 54. Mit dieser Vorgehensweise entsteht folgende Liste mit 27 Einträgen:
- 631 622 613
- 541 532 523 514
- 451 442 433 424 415
- 361 352 343 334 325 316
- 262 253 244 235 226
- 163 154 145 136
Auf diese Weise können wir sicherstellen, wirklich alle Möglichkeiten aufzulisten. Diese Art der Anordnung heißt lexikographische Ordnung – wie im Lexikon halt.
Ausblick: Mit diesen Zählmethoden berechnen wir im nächsten Kapitel, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir beim dreimaligen Werfen eines Würfels die Augensumme 10 erzielen. Wir haben mit der Produktregel berechnet, dass es insgesamt 216 Ergebnisse gibt. Und wir haben gezählt, dass 27 davon die Augensumme 10 haben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann $\frac{27}{216}=12,5\%$.