Beispiel zur Produktregel
Du stehst vor dem Kleiderschrank und möchtest dir ein Outfit aus Oberteil und Hose zusammenstellen. Du findest im Schrank drei Hosen und vier Oberteile vor. Wie viele Outfits sind möglich? Du kannst jede der drei Hosen mit jedem der vier Oberteile kombinieren, also gibt es $3\cdot 4=12$ verschiedene Outfits.
Die Regel, die hier angewendet wird, heißt die Produktregel der Kombinatorik: Wenn man zwei unabhängige Entscheidungen zu treffen hat, und in der ersten Entscheidung gibt es $m$ Möglichkeiten und in der zweiten $n$ Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt $m\cdot n$ mögliche Kombinationen von Entscheidungen.
Entsprechendes gilt auch für mehr als zwei Entscheidungen: Ein Bettwaren-Fachgeschäft bietet eine Daunendecke in drei Qualitäten, vier Wärmestufen und fünf Größen an. Wie viele verschiedene Decken kann man dort auswählen?
Lösung: Nach der Produktregel gibt es insgesamt $3\cdot 4\cdot 5 = 60$ verschiedene Decken zur Auswahl.
Wann kann man die Produktregel anwenden?
Die Produktregel der Kombinatorik ist gültig, wenn die zu treffenden Entscheidungen unabhängig voneinander sind. Für das Outfit bedeutet das: Jede Hose kann mit jedem Oberteil kombiniert werden. Wenn jedoch zu der schwarzen Jeans nur zwei Oberteile passen und zu der schicken Bluse nur ein passendes Beinkleid zur Verfügung steht, dann hilft die Produktregel nicht weiter, und man muss die möglichen Kombinationen anders ermitteln – zum Beispiel mit einem Baumdiagramm.
Die Produktregel etwas formaler
Für alle praktischen Anwendungen reichen die obigen Informationen völlig aus. Wir wollen die Regel noch ein wenig mathematischer darstellen, und zwar mit Hilfe von Mengenprodukten.
Aus zwei Mengen $M$ und $N$ können wir eine neue Menge bilden, indem wir je ein Element $m\in M$ und ein Element $n\in N$ zu einem Paar $(m,n)$ zusammenfassen. Die Menge aller solchen Paare bezeichnen wir als $M\times N$.
Ein Beispiel: Wir würfeln gleichzeitig mit einem Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und mit einem Tetraeder mit den Augenzahlen 1,2,3,4 (beim Tetraeder zählt die Augenzahl auf der Liegefläche) Wir bezeichnen Menge der Augenzahlen des Würfels mit $W$ und die Menge der Augenzahlen des Tetraeders mit $T$. Dann gilt:
- $W=\{1;2;3;4;5;6\}$ mit $|W|=6$
- $T=\{1;2;3;4\}$ mit $|T|=4$
- Wurfergebnisse: $W\times T=\{(1;1),(1;2),(1;3),…\}$ mit $|W\times T|=\ ?$
Produktregel der Kombinatorik
Wie viele Elemente enthält die Menge $W\times T$? Jedes der 6 Würfelergebnisse kann man mit 4 Tetraeder-Ergebnissen kombinieren, also enthält die Menge $W\times T$ insgesamt $6\cdot 4=24$ Ergebnisse. Diese Erkenntnis formulieren wir als Regel:
Produktregel der Kombinatorik
Gegeben sind eine Menge $M$ mit $m$ Elementen und eine Menge $N$ mit $n$ Elementen. Dann enthält die Menge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente:
$$|M\times N|=m\cdot n$$
Die Regel gilt entsprechend auch für mehr als zwei Mengen:
$$|A\times B\times C\times …|=|A|\cdot|B|\cdot|C|\cdot…$$
Beispiel: Beim dreimaligen Werfen eines Würfels gibt es insgesamt $6\cdot 6\cdot 6=216$ Kombinationen von Würfelergebnissen.
Wann können wir die Produktregel nicht anwenden?
Wenn die Anzahl der Möglichkeiten bei der zweiten Entscheidung vom Ergebnis der ersten Entscheidung abhängt. Ein klassisches Beispiel ist die Augensumme beim Würfeln. Im nächsten Abschnitt stellen wir ein Beispiel dazu vor.